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2024年4月15日发(作者：csharp是什么)
实变函数论主要知识点
第一章 集 合
1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限；
练习： ①证明
AB
CA
B
②证明
E[fa]
C
；
1
E[fa]
；
n1
n
2、 对等与基数的定义及性质；
练习： ①证明
(0,1)
②证明
(0,1)
；
[0,1]
；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集
合的基数；
练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；
③
Q
；
④[0,1]中有理数集
E
的相关结论；
4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习： ①
(0,1)
；
②
P
（P为Cantor集）；
第二章 点 集
1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的
距离是可定义的。
n维欧氏空间:
设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着
正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有
时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足
如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判
定（求法）；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则 称z为E的
聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；
4、Cantor集的构造和性质；
5、练习： ①
P
，
P
，
P
；
1
②
1,,
2
1
,,
n
= ；
第三章 测 度 论
1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；
2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、 零测度集的例子和性质；
4、 可测集的例子和性质；
练习： ①
mQ
，
mP
；
②零测度集的任何子集仍为零测度集；
③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④[0,1]中有理数集
E
的相关结论；
5、存在不可测集合；
第四章 可 测 函 数
1、可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习： ①第四章习题3；
2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；
3、叶果洛夫定理及其逆定理；
练习： ①第四章习题7；
4、依测度收敛的定义、简单的证明；
5、具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；
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