专题:函数定义域的求法及常见题型 (定稿)

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专题一：函数定义域的求法及常见题型

一、函数定义域求法

（一）常规函数

函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量

的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。

例1.求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 或。 ③

由②解得 或 ④

③和④求交集得且或x>5。

故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+ ∞)。

注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不

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能写成不等式。

例2.求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得 ③

由②解得 ④

由③和④求公共部分，得

故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。

提示点：③和④怎样求公共部分？

（二）抽象函数

1.有关概念

2

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定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡

是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；

对应法则：通过“工厂” 或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数

yf



x



的对应法则“f”。

把函数

yf



x



的对应法则“f”看作“工厂” 或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相

应函数值“y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是

否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找

函数的对应法则。

如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义

域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。

可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。

（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初

级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。

因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的

限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？

值 域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；

显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x

2

+3x-5；

隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏

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的；

复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称

y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。

2.四种类型

题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？

思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关

键是，后者的g(x)相当于前者的x。

解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域

例题3.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域

解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，

说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因

是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x

就是一模一样了，x只能为-3了。

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强化训练：

1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域；

2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log

2

x)的定义域；

3.已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。

题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？

思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关

键是，前者的g(x)相当于后者的x。

解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域

例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]

故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，

故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]

说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t无关。另外，题型二是题型

一的逆向题目。

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强化训练：

1.已知函数y=f(x

2

-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域.

题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义

域？

思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(h(x))的自变量x的范围，其中的

关键是，前者的g(x)相当于后者的h(x)，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域。

解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)

的定义域求y=f(h(x))的定义域

例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.

解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]

故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，

故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]

令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]

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故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]

说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。

强化训练：

1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域.

2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log

2

x)的定义域.

3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x

2

)定义域。

题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。

思路分析：若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的

交集。

解题策略：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x）=f(-x)+f(2x+5)定义域。

强化训练：

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1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a≦0。

二、与函数定义域相关的变形题型

（一）逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范

围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例7.已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明

所以应分m=0或进行讨论。

，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

综上可知。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

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例8.已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须

实数

≠0恒成立，因为的定义域为R，即无

①当k≠0时，恒成立，解得；

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是。

定义域非实数，求法。

（二）参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9.已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。

解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：

，即

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即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当时，F（x）的定义域为；

（2）当时，F（x）的定义域为；

（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

（三）隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问

题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10.求函数的单调区间。

解：由，即，解得。即函数y的定义域为（－1，3）。

函数是由函数复合而成的。

，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间

在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；

上是增函数；

，所以函数

区间上是减函数。

在区间上是增函数，在

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（四）实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，

并形成意识。

例11.将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义

域。

解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。

。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

。

故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。

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例12.用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架

围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x，所以，所以，

故

根据实际问题的意义知

故函数的解析式为，定义域（0，）。

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