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2024年3月21日发(作者：modify过去式和过去分词)
一、微分和导数的关系是什么？
在初学微分和导数时，虽然感觉概念不复杂，但是我对两者的关系有点模糊，比如以下问题就觉
得模棱两可：
• 对于导数链式法则，
dydx
=
dydududx
dydx=dydududx，可以理解为约去
等。但假如有
du
du，所以等式相
F(x,y)
，
dydx
=−
∂F/∂x∂F/∂y
F(x,y)，dydx=−∂F/∂x∂F/∂y ，通过消去
∂F
∂F，我
们是否可以推出
dydx
=−
dydx
dydx=−dydx？
∫
badydx
dx⟹∫
ba
dy⟹y|
ba
∫abdydxdx⟹∫abdy⟹y|ab，这里实实在在地消去了
dx
dx。
•
d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv
d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv，
然后说
dudv
dudv太小了，所以忽略掉，得到微分的乘法法则：
d(uv)=udv+vdu
d(uv)=
udv+vdu，难道
udv
udv和
vdu
vdu 不小？
我当时脑子一片混乱，到底
dx
dx、
du
du、
dv
dv是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的
•
地方不可以消去？
其实在各个历史时期，导数和微分的定义是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发
展历史中寻找答案。
我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对
y=f(x)
y=f(x)这样的一元函数。
二、1. 古典微积分
牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各
种微积分符号，可以参看维基百科。
1.1 为什么会出现导数？
导数不是牛顿和莱布尼兹发明的，他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。在解决曲面
（一维函数是曲线，即一维曲面）下面积时，牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。
在微积分出现之前，曲线下的面积是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面
积划分成无数个矩形面积之和。
直觉告诉我们，如果
n
n越大，则这个近似越准确：
这时，无穷小量
dx
dx（
Δx
Δx是把曲线底分成n份的间隔长度）出现了。无穷小量
dx
dx是建
立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的
分析》。
在当时的观点下，无穷小量
dx
dx到底是什么也是有争论的，有数学家打比喻：“无穷小量就好
比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为无穷小量
dx
dx是真实存在的。
在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然
的开始了对导数的定义和讨论。
1.2 导数的古典定义
在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：
割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概的趋势是上升还是下降，上升了多少，但
是并不精确。
有了切线之后，我们进一步定义导数：
从这张图得出导数的定义：
f
′
(x)=
dydx
f′(x)=dydx，而
dx
dx 和
dy
dy 被称为
x
x 和
y
y 的微分，
都是无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。
1.3 无穷小量导致的麻烦
上节的图实际上是矛盾的：
所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。
无穷小量的麻烦还远远不止这一些，
x
2
的导数是这样计算的：
仔细看运算过程， 无穷小量
dx
dx先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，也就是说
d
x
dx先被当作非0的量，又被当作了0。这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心
主义的代表）攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。
无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1吗？
无穷小量还违反了阿基米德公理，这个才是更严重的缺陷。康托尔证明过，如果阿基米德公理被
违背的话会出大问题。
一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的
严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。
1.4 对于古典微积分的总结
•
•
切线：通过割线和无穷小量定义了切线。
导数：通过切线和无穷小量定义了导数，导数是曲线在某点处切线的斜率，导数的值等于微
商。
• 微分：微分是微小的增量，即无穷小量。
三、2. 基于极限重建微积分
莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直想要拼命修补，但是这个问题到200
年后，19世纪极限概念的清晰之后，才得到解决。解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限
的概念重新建立微积分。
2.1 极限
现在都是用
ϵ−δ
ϵ−δ 语言描述极限：
可以看到，极限的描述并没有用到无穷小量
dx
dx。
2.2 导数的极限定义
用极限重新严格定义，导数已经脱离了微商的概念。此时，导数应该被看成一个整体。
不过我们仍然可以去定义什么是微分。说到这里，真是有点剧情反转，古典微积分是先定义微分
再有的导数，极限微积分却是先定义导数再有的微分。
从
Δy=f
′
(x
0
)Δx+aΔx
Δy=f′(x0)Δx+aΔx得出，
Δy
Δy由两部分组成，通过图来观察一下几何
意义：
dy=f
′
(x)Δx
dy=f′(x)Δx，这是
dy
dy的定义。
令函数
f(x)
f(x)的一个函数为
y=x
y=x（用线性函数去逼近原函数），
f
′
(x)=1
f′(x)=1，
y=x⟹
dy=1Δx⟹dx=Δx
y=x⟹dy=1Δx⟹dx=Δx，这是
dx
dx的定义。
最后我们得到
dy=f
′
(x)dx⟹
dydx
=f
′
(x)
dy=f′(x)dx⟹dydx=f′(x)：
2.3 对于极限微积分的总结
• 导数：导数被定义为一个极限，其几何意义是曲线变化率。导数值是一个常数，是一个常量。
开区间内的导数值集合起来，就成为导函数。
• 微分：微分是函数的局部线性近似，就是一个线性函数，局部看起来很接近原函数，导数是
这个线性函数的系数。其意义是变化的具体数值，是一个变量。
• 切线：有了导数之后，就可以确定切线。
四、3. 疑问的解答
微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古
典微积分和极限微积分。
3.1 古典微积分与极限微积分的对比
•
•
•
•
•
古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。
古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。
古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
• 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。
古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的
印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。
3.2 疑问的解答
之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。
•
•
dydx
=
dydududx
dydx=dydududx ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我
们应该认识到，这两个 du 实际上是不同的函数。
•
∫
badydx
dx
∫abdydxdx古典微积分中，
dx
dx确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理
的，而极限微积分中，
∫
ba
dx
∫abdx是求黎曼和，我们可以把
∫
ba
∫ab当作左括号，
dx
dx当
作右括号，就好比
(2+6)=8
(2+6)=8 ，计算完毕之后，括号自然就消失了。
d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv
d(uv)=(u+du)(v+dv)−uv=udv+vdu+dudv
在古典微积分中这么计算没有错误，只是 dudv 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应
该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。
实际上，古典微积分已经被摒弃了。我们应该重新从极限的角度去认识微积分。
3.3 古典微积分的用处
我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。
并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们
可以继续借用他的符号来描述微积分。
五、4. 无穷小量的逆袭
有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实
数，即超实数。
基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这
门学科被称为非标准分析（基于没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。
六、5. 多元函数的微分
多元函数
f(x,y)
f(x,y)在
(x
0
，
y
0
)
(x0，y0)处可微（可全微分），也就是说
f(x,y)
f(x,y)可以在
(x
0
，
y
0
)
(x0，y0)处，找到唯一的线性函数逼近，这个线性函数就叫做全微分函数。
全微分函数在分量上的系数叫做偏导数，是其一个属性。
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