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2024年3月21日发(作者：netbeans中文官网)

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第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A

函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知

B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做

f(x)

的定义域，求

f

g(x)

的定义域

f(x)

的定义域为D，即

xD

，所以

f

的作用范围为D，又f对

g(x)

作用，作用范围不变，所以思路：设函数

g(x)D

，解得

xE

，E为

f

g(x)

的定义域。

例1. 设函数，则函数

f(lnx)

的定义域为_____________。

f(u)

的定义域为（0，1）

的作用范围为（0，1） 解析：函数

f(u)

的定义域为（0，1）即

u(0，1)

，所以

f

又f对lnx作用，作用范围不变，所以

0lnx

解得

x

1

(1，e)

，故函数

f(lnx)

的定义域为（1，e）

例2. 若函数

解析：由

f(x)

1

，则函数

f

f(x)

的定义域为______________。

x1

f(x)

1

，知

x1

即f的作用范围为

xR|x1

，又f对f(x)作用所以

x1

x1

f(x)R且f(x)1

，即

f

f(x)

中x应满足

xR|x1且x2

f(x)1

（2）、已知

思路：设

f

g(x)

的定义域，求

f(x)

的定义域

f

g(x)

的定义域为D，即

xD

，由此得

g(x)E

，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范

围不变，所以

x

例3. 已知

解析：

即函数

E，E

为

f(x)

的定义域。

f(32x)

的定义域为

x

1，2

，则函数

f(x)

的定义域为_________。

f(32x)

的定义域为

1，2

，即

x

1，2

，由此得

32x

1，5

f(x)

的定义域为

1，5

，则函数

2

例4. 已知

f(x

2

4)lg

x

2

f(x)

的定义域为______________。

x8

解析：先求f的作用范围，由

x

2

x

2

f(x4)lg

2

0

f(x)

的定义域为

(4，)

，知

2

x8x8

2

（3）、已知

f

g(x)

的定义域，求

f

h(x)

的定义域

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思路：设

f

g(x)

的定义域为D，即

xD

，由此得

g(x)E

，

f

的作用范围为E，又f对

h(x)

作用，作用

范围不变，所以

h(x)E

，解得

xF

，F为

f

h(x)

的定义域。

例5. 若函数

f(2

x

)

的定义域为

1，1

，则

f(log

2

x)

的定义域为____________。

解析：

f(2

x

)

的定义域为

1，1

，即

x1，1



，由此得

2

x

1

，2

2

f

的作用范围为

1



1

，2

，2

又f对

log

2

x

作用，所以

log

2

x

，解得

x





2

2





2，4

即

f(log

2

x)

的定义域为

2，4

（二）同步练习：

1]

，求函数

f(x

2

)

的定义域。答案：

[1,1]

2、 已知函数

f(32x)

的定义域为

[3,3]

，求

f(x)

的定义域。答案：

[3,9]

1、 已知函数

f(x)

的定义域为

[0,

13

(,0)(1,)

22

3、 已知函数

yf(x2)

的定义域为

(1,0)

，求

f(|2x1|)

的定义域。答案：

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数上是减函数，其值域为(c，d)，又函数

yf(u)

在区间(c,d)

yf(g(x))

.若

ug(x)

在区间

(a,b

）

上是减函数，那么，原复合函数

yf(g(x))

在区间

(a,b

）上是增函数.

x

1

x

2

b

证明：在区间

(a,b

）内任取两个数

x

1

,x

2

，使

a

因为

ug(x)

在区间

(a,b

）上是减函数，所以

g(x

1

)g(x

2

)

,记

u

1

g(x

1

)

,

u

2

g(x

2

)

即

u

1

u

2,

且u

1

,u

2

(c,d)

因为函数

故函数

yf(u)

在区间(c,d)上是减函数，所以

f(u

1

)f(u

2

)

,即

f(g(x

1

))f(g(x

2

))

，

yf(g(x))

在区间

(a,b

）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u)

增 ↗ 减 ↘

ug(x)

yf(g(x))

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘

增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

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以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数

yf(g(x))

的单调性判断步骤：

yf(u)

与

ug(x)

。 ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

yf(g(x))

为

增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数

yf(g(x))

为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数

ylog

1

(x

2

2x3)

的单调区间，并用单调定义给予证明

2

解：定义域

2

x

2

2x30x3或x1

。单调减区间是

(3,)

设

x

1

,x

2

(3,)且x

1

x

2

则

2

2

2

y

1

log

1

(x

1

2x

1

3)

y

2

log

1

(x

2

2x

2

3)

2

(x

1

2x

1

3)

(x

2

2x

2

3)

2

2

=

(x

2

x

1

)(x

2

x

1

2)

∵

x

2

x

1

3

∴

x

2

x

1

0

x

2

x

1

20

∴

(x

1

2x

1

3)

>

(x

2

2

2x

2

3)

又底数

0

∴

1

1

2

y

2

y

1

0

即

y

2

y

1

∴

y

在

(3,)

上是减函数同理可证：

y

在

(,1)

上是增函数

［例］2、讨论函数

［解］由

3x

2

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

的单调性.

1

2x10

得函数的定义域为

{x|x1,或x}.

3

则当

a1

时，若

x1

，∵

u

若

x

3x

2

2x1

为增函数，∴

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为增函数.

1

，∵

u3x

2

2x1

为减函数.∴

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为减函数。

3

1

当

0a1

时，若

x1

，则

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为减函数，若

x

，则

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

3



为增函数.

（5）同步练习：

1．函数y＝

log

1

（x

2

－3x＋2）的单调递减区间是（ ）

2

A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，

2找出下列函数的单调区间.

（1）

33

）D．（，＋∞）答案：B

22

.

ya

x

2

3x2

(a1)

；（2）

y2

x

2

2x3

答案：(1)在

(,

33

]

上是增函数，在

[,)

上是减函数。

22

,1]

，减区间是

[1,3]

。 （2）单调增区间是

[1


本文标签： 函数 单调 复合

版权声明：本文标题：高中数学复合函数练习题 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://roclinux.cn/b/1711027753a584788.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。