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2024年3月21日发(作者：创建购物平台需要什么)

Josephus 约瑟夫 问题

假设n个竞赛者排成一个环形，依次顺序编号1，2，…，n。从某个指定的第1号开

始，沿环计数，每数到第m个人就让其出列，且从下一个人开始重新计数，继续进行下去。

这个过程一直进行到所有的人都出列为止。最后出列者为优胜者。

无论是用链表实现还是用数组实现来解约瑟夫问题都有一个共同点：要模拟整个游戏

过程，不仅程序写起来比较麻烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上

百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。注意到原问题仅仅是要求出

最后的胜利者的序号，而不是要模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实

施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继

续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的

约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例

如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？

变回去的公式很简单：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？显然，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个

人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！

递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实


本文标签： 问题 个人 编号 报数

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