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2024年3月19日发(作者：java中的for循环语句)
伽马分布和负二项分布的关系
1. 介绍伽马分布和负二项分布
伽马分布是概率统计学中一种连续概率分布，它在很多领域都有
应用，如保险中的赔付和聚类分析等。它的概率密度函数如下：
$$ f(x;alpha,beta)=frac{beta^{alpha}x^{alpha-1}e^{-
beta x}}{Gamma(alpha)} $$
其中，$x$ 是随机变量的取值，$alpha$ 和 $beta$ 是分布的
参数，$Gamma(alpha)$ 表示 $alpha$ 的阶乘。当 $alpha=1$ 时，
伽马分布就是指数分布；当 $alpha$ 是整数时，伽马分布就是
$alpha$ 个指数分布的和。伽马分布的图形如下：
负二项分布是概率统计学中一种离散概率分布，它在很多领域都
有应用，如投掷硬币的次数、赛车比赛中某车手的获胜次数等。它的
概率质量函数如下：
$$ P(k;r,p)={k+r-1choose k}(1-p)^rp^k $$
其中，$k$ 是随机变量的取值，$r$ 和 $p$ 是分布的参数，
${k+r-1choose k}$ 表示 $k+r-1$ 个球中选 $k$ 个恰好是成功的组
合数。当 $r=1$ 时，负二项分布就是几何分布；当 $r$ 是整数时，
负二项分布就是 $r$ 个几何分布的和。负二项分布的图形如下：
2. 伽马分布与负二项分布的联系
伽马分布和负二项分布之间有着密切的联系。在某些情况下，它
们可以相互转化和近似。
2.1 伽马分布可以表示负二项分布的分布函数
当 $r$ 是正整数时，负二项分布的分布函数可以表示为：
$$ F(k;r,p)=sum_{i=0}^{k}{i+r-1choose i}(1-p)^rp^i $$
这个式子看起来很复杂，但实际上它是一种特殊的伽马函数：
$$ F(k;r,p)=frac{Gamma(k+r)}{k!Gamma(r)}int_{0}^{p}{u
^{k}(1-u)^{r-1}du} $$
这意味着我们可以用伽马函数的性质来求解负二项分布的分布函
数，比如 Gauss 积分、倍角公式等。
2.2 负二项分布的均值和方差可以表示为伽马分布的期望和
方差
当 $r$ 是正整数时，负二项分布的均值和方差分别为：
$$ E(k)=frac{rp}{1-p}, quad
mathrm{Var}(k)=frac{rp}{(1-p)^2} $$
这个式子看起来也很复杂，但实际上它们可以表示为伽马分布的
期望和方差：
$$ E(k)=frac{alpha}{beta}, quad
mathrm{Var}(k)=frac{alpha}{beta^2} $$
其中，
$$ alpha=r, quad beta=frac{1-p}{p} $$
这意味着我们可以将负二项分布的均值和方差转化为伽马分布的
期望和方差，从而求解概率问题。
2.3 伽马分布可以近似表示负二项分布
当 $p$ 很小，$r$ 又很大时，负二项分布可以近似表示为伽马分
布，这个现象在实际应用中很有用。具体而言，当 $p$ 很小时，有：
$$ frac{p}{1-p}approx p, quad
mathrm{Var}(k)approxfrac{rp}{(1-p)^2}approx frac{rp}{1-p}
$$
因此，我们可以用以下伽马分布来近似表示负二项分布：
$$ f(k;r,p)approxfrac{(rp)^r}{Gamma(r)}k^{r-1}e^{-rp}
$$
这个式子看起来很奇怪，但实际上它就是伽马分布在 $kgg1$ 时
的渐进形式。这意味着我们可以将负二项分布看作是一种离散的伽马
分布，从而简化计算。
3. 总结
伽马分布和负二项分布之间存在着密切的联系，它们可以相互转
化和近似。在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择使用伽
马分布或负二项分布，或者两者结合使用。希望这篇文章能够帮助读
者更好地理解它们之间的关系，从而更好地应用到实际问题中。
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