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2024年3月18日发(作者：java为什么不能运行)
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案例剖析
。
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递归算法案例
数列到函数
◎朱冰桂改花 （广东科学技术职业学院５１９０９０）
【摘要】递归算法是一种直接或者间接地调用自身的算
一
法．在计算机编写程序中，递９２－算法对解决一大类问题是十
般的递归函数可以用如下形式表达：｛【
Ｕ ＋１＝，（ｎ，ｎ ）．
分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解．递归过
递归函数有两个要素：初始项、递推式．
程一般通过函数或子过程来实现．递９２－算法：在函数或子过
与递归函数类似的说法，还有：
程的内部，直接或者间接地调用自己的算法．本文通过具体 递归调用：在函数内部发出调用自身的操作．
的数学例子来体现这一基本思想，对第二个例子进行拓展，
递归方法：通过函数或过程调用自身将问题转换为本
揭示了递推关系数列的函数实质．
质相同但规模较小的子问题的方法．
【关键词】递归；递归算法；函数；数列
递归算法：直接或者间接地调用自身的算法．
二、递归算法的基本思想
递归函数（ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）是一个自己调用自己的函
递归方法实际上体现了“以此类推”、“用同样的步骤重
数．递归函数包括两种：直接递归（ｄｉｒｅｃｔ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ）和间接递
复”这样的思想，是算法和程序设计中的一种重要技术．
归（ｉｎｄｉｒｅｃｔ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ）．直接递归是指函数Ｆ的代码中直接
三、递归算法举例
包含了调用Ｆ的语句，而间接递归是指函数Ｆ调用了函数
侈４ １ 已知Ｓ（ｎ）＝１＋２＋３＋－・・＋ｎ＝ｓ（ｎ一１）＋ｎ，当
Ｇ，Ｇ又调用了日，如此进行下去，直到Ｆ又被调用．
我们去求ｓ（ｎ）时，我们是先求出ｓ（ｎ一１），然后再算出
还有些数据结构如二叉树，结构本身固有递归特性；此
ｓ（ ），具体语句为：ｓ（ｎ）＝ｓ（ｎ一１）＋ｎ．
外，有一类问题，其本身没有明显的递归结构，但用递归程
在这个语句中，我们调用ｓ（ｎ）求其值的时候，必须先调
序求解比其他方法更容易编写程序，如八皇后问题、汉诺塔
用ｓ（ｎ一１）得到其值，而要得到ｓ（ｎ一１），又必须调用ｓ（ｎ一
问题等．
２）得到其值，同样，要求 （ｎ一２）又要调用 （ｎ一３），依次类
递归时常用的编程技术，其基本思想就是“自己调用自
推，一直要递推到ｓ（２）＝ｓ（１）＋２，由于ｓ（１）已知为１，所以
己”，一个使用递归技术的方法即是直接或间接地调用自身
可以得到ｓ（２），从而得到ｓ（３），这样一直可以得到ｓ（ｎ）．
的方法．递归方法实际上体现了“以此类推”“用同样的步骤
这个递归算法中，自身调用的语句是：ｓ（ｎ）＝ｓ（ｎ一１）＋
重复”这样的思想，它可以用简单的程序来解决某些复杂的
ｎ，结束递归的边界条件是：ｓ（１）＝１．
计算问题，但是运算量较大．正因为递归程序的普遍性，我
例２数列，（ｎ）满足＿厂（ｎ＋１）＝，／２＋，（ｎ）及八１）＝２，
们应该学会使用递归来求解问题．在直接递归程序与间接
求这个数列的前五项．
递归中都要实现当前层调用下一层时的参数传递，取得下
解 在递推公式Ｉ厂（ｎ＋１）＝ ： 中，令ｎ＝１，可
一
层所返回的结果，并向上一层调用返回当前层的结果．至
得＿厂（２）＝ ＋，（１）＝ ２＋２＝２．
于各层调用中现场的保存与恢复，均由程序自动实现，不需
再令ｎ＝２，３，４，５，
要人工干预．因此，在递归程序的设计中关键是找出调用所
需要的参数、返回的结果及递归调用结束的条件．如在阶乘
可得，（５）＝／（４）＝ ３）＝ｖ／２＋＿厂（２）＝ｖ／２＋２＝２．
因此这个数列的前五项都是２．
函数Ｆａｃｔ（ｎ）中，各层要求传递一个自然数 ，返回ｎ Ｆａｃｔ
注容易看出这个数列的各项都是２，即２，２，２，２，２，２，…
（ｎ一１），递归调用结束的条件是ｎ＝０，据此，可以方便地写
如果我们令厂（１）＝１，则可以求出该数列的前五项分
出它的对应程序
别为：
一
、
递归的基本思想
在中学学习数列知道，数列有用通项公式定义也有用
２）＝ ２＋ １）＝√３，
～
ｒ—————＝
递推式定义．
＿厂（３）＝ ２＋，（２）＝√２＋√３，
女Ⅱａ ＝２ ；ａｏ ｕ Ｊ＝１，Ｕ２＝２， ＞２时，Ｕ ａ 一】＋ｕ 一２．
ｒ————— ＝＝＝＝＝＝
｛Ｌ４、＝ 压丽＝ ２＋ ２ ．
同样的，表示函数可以用显式表达式、隐式方程、参数
厂— 三三
方程形式和递归式．
／（５）＝ ２＋，（４）＝√２＋√２＋￣／２＋√３．
所谓递归就是自己调用自己，递归包含两种：直接递归
可见，递归函数除了和相应的递推式有关外，不同的开
和间接递归．
始项，也会使结果有很大不同．
递归函数：用函数自身给出定义的函数，称为递归
在上例中，如果我们修改递推式，改为ｆ（ｎ＋１）＝
函数．
￣／ｙ＋＿厂（ｎ），且令ｆ（１）＝３，则当Ｙ＝６时，我们可以得到
数学学习与研究２０１２．７
辑 ｌ
乏
案例剖析
一…
｜ｌｌｌ｜ 灌 奄
列，即当Ｙ＝ （ 一１）时，数列为常数列．数列是自变量为自
然数的函数这一思想得到体现．
．１ － ｈ臻
＿厂（５）＝／＜４）＝ ３）＝＿厂（２）＝、 丽
都是３．
＝３，即数列的每－－项
如果令ｆ（１）＝４，则当Ｙ＝１２时，我们可以得到ｆ（５）＝
＿厂（４）＝ ３）＝ ２）： －４，即数列的每一项都是４．
如果我们把递推式改为，（ｎ＋１）＝
的常数列．
而且令
＿厂（１）＝ ，我们可以得到当Ｙ＝ （ —Ｉ）时，数列是值为
如果令ｌ厂（１）＝５，则当Ｙ＝２０时，我们可以得到ｆ（５）＝
４）＝＿厂（３）＝＿厂（２）＝ 而＝５，即数列的每一项都是５
综上所述，我们可以得到递归思想最终还是一种函数
的思想，只不过在中学阶段接触到的是一些具体的数列例
对以上各种情况我们列个表格，并设＿厂（１）＝ ．
ｌ厂（１）
２ ２ ２
子，让同学们感到很是新鲜好奇．而在高等数学阶段，特别
＿厂（２）
２
，（３）
２
，（４）
２
厂＿（５）
２
是对于计算机专业的学生，掌握递归思想意义重大，可以帮
助他们创新，建立新模型，如果把数学中的函数思想很好地
融人进去，可以拓展同学们的思路，降低问题的难度．
３
４
５
６
６
１２
２０
３０
３
４
５
６
３
４
５
６
３
４
５
６
３
４
５
６
３
４
５
６
【参考文献】
王信峰．计算机数学基础．北京：高等教育出版
社。２００９．
可以发现当 ，Ｙ满足一定的关系时，所得数列是常数
（上接６０页）
三、解决问题的过程中。培养学生的互译能力
设 ＝ ，为 上的单位向量， ＝ 为 上的
１．运用典型例题分析，培养学生熟练地表述的能力
对于抽象的数学符号、图形语言，我们在理解的深度与
广度上很难与数学文字语言相媲美．故我们在解决数学问
题时，通常会将符号及图形语言转译成文字语言．这样的例
单位向量，则 ＩＡ ＢＩ＋ 缶的方向为 ＢＡｃ的角平分线 的
施又 ｏＩ＋ ．Ａ（ ＋ ）的方向与 ＋
子也很多，下面任举一例阐述具体做法：
例２ 已知｛ｎ ｝是递增数列，且对任意 ∈Ｎ 都有
ｎ ＝ｎ ＋Ａｎ恒成立，求实数Ａ的取值范围．
的方向相同＿而 一一ＯＡ： ：Ａ（ ＋ ）
＝ ＋Ａ（ ＋ ），．・．点Ｐ在 上移动．
’
．．
解析由｛ｎ ｝是递增数列（文字语言），得口 ＜ｎ ＋。（符
号语言）恒成立．
即ｎ ＋ａｎ＜（ｎ＋１） ＋Ａ（ｎ＋１）．
’
．．
Ｐ点的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的内心．
思路 将向量语言翻译成图形语言及文字语言即町得
答案．
对任意ｎ∈Ｎ 都有Ａ＞一（２ｎ＋１）恒成立．
若设 ／＇ｔ）＝一（２ｒｔ＋１），ｎ∈Ｎ ，
即只需Ａ＞厂（ｎ） ，ｎ∈Ｎ ．
’
．
’
这样的例题不胜枚举．总而言之，当遇到数学问题时，
如能注重自然语言与算法语言的转译，注重文字、图形、符
号等语言之间的相互转译，然后再对题目进行针对性的分
析，则难题不难矣！
２Ｉｔ＋１≥３．
－
．
．
（２ｎ十１）≤一３，故函数＿厂（ｎ）…＝＿厂（１）＝一３．
‘
．．
Ａ＞一３．
如果教学过程中长期注重使用这种教学理念与教学方
用分离变量法将恒成立问题转化成求函数
法，也就很自然地教会了学生对待数学问题的～种思考厅
式和解题习惯，当学生们面对一个较为复杂的问题时他们
就会很自觉地多问自己几个为什么．那么每～・个小条件都
可能有几个不同的理解与转译方式，再根据乘法原理，就会
得到几十种的处理方案，可见再难的数学题也不难被攻克．
这里还有一个问题值得关注：虽然条条道路通罗马，但是其
中总有一条或几条是捷径．如何快速检索出最佳转译方案，
这就要求学生在处理问题后要有反思的习惯；要有不断地
反思积累
的最值问题．即“当 ∈Ｄ（ ）时，对于任意的 都有ｍ＞＿厂（ ）
（或ｍ＜ｆ（ ））恒成立”可转译为“ｍ＞ｆ（ ）…（或ｍ＜
．
厂（ ） ），其［｝Ｉ ∈Ｄ（ ）”，再根据条件构造合适的函数，是
处理这一类问题的常用转译方法．
２．面对较难数学问题时，合理地将解题步骤分解，有助
ｆ学 三种语占转泽能力的培养
例３ ０是平面上一定点，Ａ，Ｂ，Ｃ是平面上不共线的三
点，动点Ｐ满足 ＝ ＋＾（ ＋ ）’Ａ∈Ｌｏ＇＋
则Ｐ点的轨迹一定通过ＡＡＢＣ的内心．（填“外心…‘内心”
“重心”“垂心”之一）
积累好思路、好方法、好技巧的习惯；要有对自己已经得到
的知识技能进行恰当的资源管理的习惯，进而形成自己的
资料库．这样，如果遇到问题时就有了“一类题”或“触类旁
通”的感觉，处理起来才会快捷，得心应手．
数学学习与研究２０１２ ７
解析 它的解题思想主要还是对向量语言的转译．
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