高等数学公式定理整理

高等数学公式定理整理

1.01版

本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。

蓝色为定理 红色为公式

三角函数恒等公式：

两角和差

cos(αβ)cosα•cosβsinα•sinβcos(α-β)=cosαosα·c+sinαinα·ssin(α±β)=sinαinα·c±cosαosα·s(tanα+tanβatan(α+β)=(1-tanαanα·tatan(α-β)=(tanα-tanβanβ)+tanαanα·ta

和差化积

(α+β)(α-β)sinα+sinβ=2sin[]cos[]22(α+β)(α-β)sinα-sinβ=2cos[]sin[]22(α+β)(α-β)cosα+cosβ=2cos[]cos[]22(α+β)(α-β)cosα-cosβ=-2sin[]sin[]22

积化和差

1sinαinα·c=[sin(α+β)+sin(α-β)]21cosαosα·s=[sin(α+β)-sin(α-β)]21cosαosα·c=[cos(α+β)+cos(α-β)]21sinαinα·s=-[cos(α+β)-cos(α-β)]2

倍角公式（部分）：很重要！

2sin2α=2sinαsinα·=(tanα+cotαocos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α2tanαtan2α=1-tan2α一、函数

函数的特性：

1.有界性：

假设函数在D上有定义，如果存在正数M，使得对于任何的x∈D都满足|f(x)|≤M。则称f（x）是D的有界函数。

如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。

2.单调性

设f（x）的定义域为D，区间ID。X1，x2∈I，那么，如果x1x2,那么就是单调减少函数。

3.奇偶性

如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。

4.周期性

设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D有（x±T）∈D，且f（x±T）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如sin x，cos x，它们就是以2π为周期的周期函数。

反函数：

就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：

原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；

复合函数和初等函数：

重要！：六个基本初等函数是：幂函数（x）,指数函数（a），对数函数（logax，lg x【log10x】，ln x【logex】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为arcsinx，arccosx，arctanx）

复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。

二、极限与连续

极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用limx→x0 f（x）=A

xa

如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右极限相等。

极限运算法则

limx→x0 [f（x）±g(x)]=limx→x0 f（x）±limx→x0 g（x）=A±B

limx→x0 [cf（x）]=climx→x0 f（x）=cA

limx→x0 f（x）·limx→x0 g（x）=limx→x0 f（x）·g（x）=A·B

limxx0limf(x)xx0f(x)limg(x)g(x)Axx0=B（B≠0）

limxx0[f(x)][nlimxx0f(x)]nAn

limxx0

nf(n)nlimxx0f(x)nA

重要！：两个重要极限

1.夹逼准则

如果xn，yn，zn

满足xn≤yn≤zn

limlimlimynznxnann那么n这就是夹逼准则。

1limsin xlimsin

x或者1x0xx1x2.

图 1

如图1，∠AOC=x（0

111sinxxtanx222

化简sinxxtanx

1两边同时除以sinxxtanxxsinx即1cosx即cosx1sinxsinxsinxx

limlimsinxlimcosx1x0xx0根据夹逼准则得出x0

limsinx1x0x所以

1limlim1xx（1x）e或（1）exx3.x0（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可）

4.无穷大量和无穷小量

（1）性质1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量

（2）性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量

（3）性质3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量

定理1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。

定理2，b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o（a）

定理3,设a~a’,b~b’，且limb’/a’存在，则lima/b=lima’/b’。

无穷小量的比较：

limb0高阶无穷小ab1等价无穷小a

limb低阶无穷小a

limbC0同阶无穷小a

lim其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x趋于0）

等价公式：当x→0时，sinx~x ，tanx~x，

arcsinx~x ，

arctanx~x ，

1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1，

（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)， （e^x）-1~x ，ln(1+x)~x ，(1+Bx)a-1~aBx，[(1+x)1/n]-1~（1/n）*x，loga(1+x)~x/lna ，（1+x)a-1~ax(a≠0)，

5.连续

定义 设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，若lim（△x→0）△y=0，则称函数f（x）在x0这个点连续。

条件：（1）f（x0）有定义，有数值；（2）lim（x→x0）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。

limxx0lim左右连续和左右极限相同，如图：f(x)f(x)f(x)f(x)

xx0就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。

（1）间断点

根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。

可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。

跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。

震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。

无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。

闭区间连续函数的性质：

1、[a,b]区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；

2、函数f（x）在[a,b]区间连续，则在[a,b]必定有界；

3、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B,又A≠B，C是介于A，B的一个值，则必定存在一个点ξ，使得f（ξ）=C；

4、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)，f(b)异号，则一定存在一个x0∈（a，b），使得f（x0）=0；

三、导数

导数的几何意义就是f(x)在x点函数的切线的斜率；

求某一点的导数f(x)f(x0)f'(x)xx0xx0

lim连续不一定可导，可导一定连续；

导数的求导公式：

1.y=c(c为常数) y'=0

2.y=x y'=nxxn(n-1)

3.y=a y'=a

y=e y'=e

y=lnx y'=1/x

5.y=sinx y'=cosx

6.y=cosx y'=-sinx

7.y=tanx y'=1/cosx

2xxxlna

8.y=cotx y'=-1/sinx

9.y=arcsinx y'=1/√1-x

10.y=arccosx y'=-1/√1-x

11.y=arctanx y'=1/1+x

12.y=arccotx y'=-1/1+x

函数的求导法则：

2

2222[f(x)g(x)]'[f(x)]'[g(x)]'[f(x)g(x)]'[f(x)]'g(x)f(x)[g(x)]f(x)[f(x)]'g(x)f(x)[g(x)][]'2g(x)[g(x)]复合函数求导法则：

dydydu·依次循环链式法则：dxdudx

f(x)ex1f'(x)e例：x1x1•(x1)'

f'(x)e隐函数求导法：

（1）两端同时求导

x2y225d2d2(xy)25dxdxd2d2xy25整理dxdxdy2x2y0求导dxdy2y2xdxdyxdxy

（2）等式两端取对数

1.先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导；

参数方程求导法：

罗尔定理：[a,b]连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b),则有一个数ξ，使得f’(ξ)=0。

拉格朗日定理：[a,b]连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)

f(b)f(a)f'(ξ)即ba

0罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如0或者的未定式，可以直接对分子分母求导运算。如果是 0·∞时可通110·0··0过来求。如果是0-0或∞-∞可以通分来求。

函数的单调性和极值：

四步走：1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减

函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。二阶导为正数则是凹，为负数则是凸；

四、不定积分

不定积分和导数是逆运算关系；

不定积分求法分三种：

直接积分（直接使用基本公式求）；第一类换元积分（用cos2xdxcos2xd2x一个字母代替变量，如：sin2xc）；第二类换元积分法（当被积函数中有诸如axbx这样的根式，可令根式为u，然后依次往下，带入原式）；分部积分法：

udvuvvdu

五、定积分

1.求定积分上限函数和下限函数

上限函数x12tdt2x（x）'下限函数2tdt[2x(x')]x1就是求下限积分时，把符号倒过来变成上限积分；

2.牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数c）

3.广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分）

（1）积分区间的无穷区间

即求广义积分的敛散性，如果xdxxdxxdxlimxdxlimxdxaxxaaa如果他们极限存在，则可以称为收敛，反之，则是发散；如例题：0edxlimxx0xexdxlim[ex]0[ex1]1x所以这个积分是收敛的；

（2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分）

讨论广义积分1dx的敛散性；1x21

这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f（0）外连续，在f（0）处无定义x0断点；于是：

lim12x，所以x=0是被积函数的无穷间

0111dxdx(因为函数是偶函数)21x21x2x0111limdxlim[]lim[1]1x01x2x0x0x所以，该函数是发散的；

1六、微分方程

1.可分离变量的通解，直接计算

2.齐次方程通解，用uy代替x

3.一阶线性非齐次方程的通解

形如y'p(x)yq(x)备注q(x)0

yep(x)dxp(x)dx[q(x)•ec]

附：一阶线性齐次方程的通解

yep(x)dxc

4.可降解二阶微分方程通解

y''(x)连续积分两次，注意，要有两个常数c1，c2y''(y',x) 令y'u，y''u',依次降阶计算duy''（y',y）令y'u，y''u，依次计算dx5.二阶线性齐次方程通解

形如y''p(x)y'q(x)y0

r2p(x)rq(x)0解一元二次方程组，得r1，r2;

参数方程求法

如果r1，r2是不相同的两个实数根（单根），那么yC1er1xC2er2x

如果r1，r2是两个相同的实数根（重根），那么

y(C1C2x)erabirx

如果r1，r2是两个非实数根（共轭复数根），那么yeax(C1cosbxC2sinbx)

二阶线性非齐次微分方程的通解

二阶线性非齐次方程的通解等于 对应二阶线性齐次方程的通解加上二阶线性废非弃次方程的特解

二阶线性非齐次方程的特解：

自由项f(x)Pn(x)的特解

Pn*(x)=xQ(x)ekλx

yYyQ（x）：看他是多少次的，例如二次就是Ax+Bx+C，一次就是Ax+B；

Λ的数值和参数方程的根r对应，如果只有一个数对应（单根），那么k取1，,如果是重根（两个数都对应，即r1=r2），则k取2；如果没有相同的，则k取1；

2