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2023年12月24日发(作者：看下影视源码)

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类

 周期信号分析--傅里叶级数

 非周期信号分析--傅里叶变换

 脉冲函数及其性质

信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量

信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号

确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。

x(t)

弹簧

刚度K

x(t)

质量M

x0

o t

质量－弹簧系统的力学模型

kx(t)Acost0m

非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的

 按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。

 信号描述方法

时域描述

如简谐信号

简谐信号及其三个要素

x0cos(0t0)

幅值 频率 相角

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式

 周期信号时域表达式

x(t)x(tT)x(t2T)x(tnT)(n1，2，)

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

x(t)a0(ancosn0tbnsinn0t)n1

（n=1, 2, 3，…）

T2傅立叶系数：

1a0T2anT2bnTx(t)dtT2

T2x(t)cosntdt0T2

T2x(t)sinntdt0T2

式中

Ｔ--周期；0--基频, 0=2/T。

 三角函数展开式的另一种形式：

N次谐波的幅值

N次谐波的频率

x(t)a0Ancos(n0tn)n1N次谐波

信号的均值，直流分量 N次谐波的相角

Anab2n2nbnnarctgann1,2,3,

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法

 频谱图

An﹡﹡﹡

n﹡﹡﹡

0

20

2 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图

解：

x(t)

…

T

A

…

-A

t

解：

信号的基频

非对称周期方波

周期方波

20T

傅里叶系数

22bnTx(t)sinn0tdtT2T20奇函数：a0an0

t的偶函数

T42AAsinn0tdt1cosnTn4A

n为奇数n0n为偶数n次谐波的幅值和相角

4AAnabbnnn，2

(n1,3,5,)

2n2n

最后得傅立叶级数

4Ax(t)cos(n0t)2nn频谱图

(n1,3,5,)

4AAn

4A4Aφn

3

53ω0

…

ω

ω0

5ω0

2

…

ω

幅频谱图 相频谱图

二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式

 欧拉公式

ejtcostjsint

或

1jtjtecost2ejjtsinteejt2j1

 傅立叶级数的复指数形式

x(t)ncenjn0t(n0,1,2,3,)

 复数傅里叶系数的表达式

1c0a0TT2T2x(t)dt

anjbncn2T12jn0tTx(t)edtT2

其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。

 一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 #

即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。

 cn的复指数形式

ananbnbn

cncnejn

共轭性还可以表示为

，即：cn与c-n模相等，相角相反。

 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系

对于n>0

cnc－nnn

a(bn)Ancn222n2（等于三角

函数模的一半）

bnnarctgan

（与三角函数形式中的相角相等）

cAnn

2

arctgbnbnnaarctgnan

用c

n画频谱：双边频谱

第一种：幅频谱图:|cn|-，图:n-相频谱

AnA1A2cnA1c12c2020n20201n11202002022001单边频谱 双边频谱

第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图：Imcn-；也就是an-和-bn-.

#

§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类：

a.准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性

判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数

b.瞬变非周期信号

x(t) x(t) x(t)

t t t

几种瞬变非周期信号

数学描述：傅里叶变换

一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号

式（2.22）借助（2.16）演变成：

x(t)的傅里叶变换X(ω)1jtx(t)x(t)edt2

ejtd

定义x(t)的傅里叶变换X(ω)X()x(t)e

jtdt

X(ω)的傅里叶反变换x(t):

1x(t)2X()ejtd

 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波

1jtX()ed2的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函

数。

 对应关系：

1jtjn0tX()decen2

X()描述了x(t)的频率结构

X()的指数形式为

 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得

X()X()ej()X(f)x(t)ej2ftdt

x(t)X(f)ej2ftdf

X( f )的指数形式

X(f)X(f)ej(f)

 频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

幅值频谱图

X()相位频谱图

()实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω)

如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。

二、 傅里叶变换的主要性质

（一）叠加性

a1x1(t)a2x2(t)a1X1(f)a2X2(f)FT

（二）对称性

（注意翻转）

X(t)x(f)FT

（三）时移性质

x(tt0)X(f)eFTj2ft0

（幅值不变，相位随 f 改变±2ft0）

（四）频移性质

FTx(t)ej2ft0X(ff0)

（注意两边正负号相反）

（五）时间尺度改变特性

1fx(at)X()aa （六）微分性质

n

dx(t)FTn(j2f)X(f)ndt

（七）卷积性质

（1）卷积定义

x(t)y(t)x()y(t)d

（2）卷积定理

x(t)y(t)X(f)Y(f)FTx(t)y(t)X(f)Y(f)

FT

三、 脉冲函数及其频谱

（一） 脉冲函数：

x(t) x(t)

(t)1/A(tt0)-/2/2t t0

t

定义函数（要通过函数值和面积两方面定义）

函数值：

t0(t)0t0

脉冲强度（面积）

（二）脉冲函数的样质

1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

x(t0)(tt0)(tt0)(t)x(t)

x(0)(t)x(t)

(t)dt1

t

t0

t

函数值：

t0x(t)(tt0)0t0强度：

x(t)(tt0)dtx(t0)(tt0)dtx(t0)

结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

在脉冲发生时刻的函数值

2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。

2． 脉冲函数的卷积性质：

(a) 利用结论2

x(t)(t)x()(t)dx(t)(t)d

(b) 利用结论2

x(t)

x(t)(tt0)x()(tt0)dx(tt0)(tt0)dx(tt0)

结论：平移

x(t)

(tt0)x(tt0)t0

（三）脉冲函数的频谱

t

(t)(f)(t)eFTj2ftdt1

均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

(tt0)e

FTj2ft0

（利用时移性质）

1ffFT

（利用对称性质）

e

j2f0t(ff0)FT

（对上式，再用频移性质）

（四）正弦函数和余弦函数的频谱

cos2ft1j2ft11FTj2ftee(ff0)(ff0）222

sin2ftjj2ftjjFTj2ftee(ff0)(ff0）222

余弦函数的频谱

(f)正弦函数的频谱

(f)1/2

-f0

1/2

f0

f

1/2

-f0

f0

f

-1/2


本文标签： 信号 函数 频谱 脉冲 谐波

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